Teorema Titik Tetap Brouwer

My Writings. My Thoughts.

Teorema Titik Tetap Brouwer

On » Minggu, 21 Agustus 2011 //

Bayangkan ada sebuah gelas berisi air yang tenag, diam tak bergerak. Kita tahu air terdiri dari molekul-molekul H₂O. Selanjutnya kita aduk gelas tersebut lalu tunggu sampai air kembali tenang. Pertanyaannya, apakah semua molekuk air berpindah posisi? dengan kata lain apakah posisi semua molekul air sebelum diaduk dan sesudah itu berbeda? Tidak, ada molekul air yang tidak berpindah posisi yang posisisnya tetap baik sebelum maupun seseudah diaduk.

Bagaimana bisa begitu?

Itu dikarenakan Teorema titik tetap Brouwer

Teorema Titik Tetap Brouwer (TTTB) : Diberikan $B^{n}=\left\{ x\in\mathbb{R}^{n},\left\Vert x\right\Vert \leq1\right\}$ bola unit tertutup pada ruang euclid $\mathbb{R}^{n}$ maka setiap fungsi kontinyu $f:B^{n}\rightarrow B^{n}$ terdapat titik tetap yaitu titik $x$ dengan $f\left(x\right)=x$

Secara sederhana TTTB mengatakan jika kita punya bola pejal yang berisikan titik-titik yang tak hingga banyak. Kemudian kita aduk-aduk, kita obok-obok isi bola tersebut maka terdapat titik yang posisinya tetap tidak berubah. Inilah yang disebut dengan titik tetap, titik tetap tidak harus tunggal bisa saja lebih dari satu. TTTB berlaku pada dimensi berapapun, bola pejal berdimensi 37 pun berlaku TTTB meskipun kita sulit membayangkan bola berdimesi 37. TTTB juga berlaku pada apapun yang homeomorphic ke bola pejal, itu berati TTB juga belaku pada kubus pejal ataupun piramida pejal. Akan tetapi TTTB tidak belaku pada bola terbuka (tidak mempunyai kulit). Pada dimensi satu, TTTB ekuivalen dengan Teorema Nilai Tengah.

Fungsi kontinyu $f$ pada TTTB tidak harus bijektif atau injektif, pokoknya yang penting kontinyu.

WANTETA SATRIA

My Writings. My Thoughts.