Kesebangunan Segitiga

SEGITIGA-SEGITIGA YANG SEBANGUN

Pendekatan
Pemahaman Konsep dan Matematika Realistik.
Misalkan  diketahui dua segitiga  segitiga ABC dan segitiga PQR dengan
ketiga  sudut yang bersesuaian  sama besar yaitu ;
∠A = ∠P
∠B = ∠Q
∠C = ∠R
dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian  sama yakni ;
AB/PQ  = BC/QR = AC/PR
Maka kedua  segitiga tersebut dikatakan sebangun ditulis  ” segitiga ABC ∼ segitigaPQR ”, atau sebaliknya
Theorema
Jika  dua buah  segitiga diketahui dua sudut  yang bersesuaian sama besar maka kedua  segitiga tersebut sebangun.
Bukti:
Misal diketahui segitiga ABC dan segitiga PQR dan
∠A = ∠P
∠B = ∠Q
Pertama akan  ditunjukkan
∠C = ∠R
dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian  sama yakni;
AB/PQ  = BC/QR = AC/PR
Pertama akan  ditunjukkan
∠C = ∠R
Karena  jumlah  sudut-sudut pada  segitiga adalah  180
maka,  ∠C = 180  − (∠A + ∠B) = 180 − (∠P + ∠Q) = ∠R
∴ ∠C = ∠R
Berikut akan  ditunjukkan
perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian  sama yakni;
AB/PQ  = BC/QR = AC/PR
Sebagai Ilustrasi  perhatikan gambar

Karena  ∠A = ∠P maka garis k//l (sifat  kesejajaran dua buah  garis yang dipotong oleh sebuah  garis).
Begitu  juga  ∠B = ∠Q dan  ∠C = ∠R, sehingga  membentuk gambar  seperti pada  gambar  diatas.
Berikutnya akan  ditunjukkan bahwa  perbandingan sisi-sisi  yang  bersesuaian sama.
Misalkan  AC = b dan  PQ  = b ± m (asumsikan m positif,  andaikan negatif
maka  yang dimisalkan  adalah  PQ).
jadi PQ  = b + m,
Andaikan   m  tidak   habis  dibagi  b,  (jika  habis  dibagi  kita  tinggal  membuat segitiga-segitiga  seperti  pada  gambar  diatas).
jadi  kita  membuat PQ  menjadi  beberapa  bagian  misalnya  PQ  dibagi  menjadi bm + mm ( m habis dibagi oleh bm dan mm).
Jadi  kita  dapat membentuk segitiga-segitiga  kecil dengan  panjang  salah  satu sisinya adalah  bm + mm bagian/satuan panjang,  seperti  gambar  dibawah  ini

Kita  bisa  membuat A’B'//P ‘ Q’ ,  andaikan tidak  dapat dibuat sejajar  artinya ketiga sudutnya yang bersesuaian  dari kedua segitiga, segtiga ABC dan segitiga P QR tidak sama besar (bertentangan dengan  yang diketahui).
Sehingga segitiga AB’ A’  konggruen  dengan  segitigaP Q’ P ‘  (sd,s,sd).
Akibatnya PR  dan QR juga dibagi menjadi  bm + mm bagian.
Dengan  AB, AC, dan BC dibagi menjadi  bm bagian.
Misalkan  panjang  PP’ = r maka  panjang  AB = bm.r  dan PQ  = (bm + mm).r
Sehingga
AB/P Q = bmr/ (bm+mm)r = b/b+m
misalkan  pula  panjang  Q’P'  = p maka  panjang  BC = bm.p  dan  QR = (bm  + mm).p
BC/QR =  bmp/ (bm+mm)p = b/b+m
Dengan cara yang sama didapatkan juga  AC /PR =  b/b+m
Jadi
AB/PQ = BC/RQ = AC/PR = b/b+m. Bukti selesai.

Materi Matematika SD : Sifat-sifat Operasi Hitung

 

 

 

 

 

 

i

 

9 Votes

Ada 3 sifat yang dimiliki operasi hitung bilangan cacah. Sifat-sifat yang dimaksuda dalah sifat komutatif, sifat asosiatif, dan sifat distributive. Ketiga sifat ini sangat penting karena dapat mempermudah penyelesaian.

• Sifat Komutatif

Seperti yang telah kamu ketahui, sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan penjumlahan berikut.
2 + 4 = 6
4 + 2 = 6
Jadi, 2 + 4 = 4 + 2.
Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada penjumlahan.
Sekarang, coba perhatikan perkalian berikut.
2 × 4 = 8
4 × 2 = 8
Jadi, 2 × 4 = 4 × 2.

Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada perkalian. Apakah sifat komutatif berlaku pada pengurangan dan pembagian?
Perhatikan contoh berikut.
a. 2 – 4 = –2 dan 4 – 2 = 2
Jadi, 2 – 4 tidak sama dengan 4 – 2, atau 2 – 4 ≠ 4 – 2.
b. 2 : 4 = 0,5 dan 4 : 2 = 2
Diperoleh bahwa 2 : 4 tidak sama dengan 4 : 2, atau 2 : 4 ≠ 4 : 2

Jadi, pada pengurangan dan pembagian tidak berlaku sifat komutatif.

• Sifat Asosiatif

Pada penjumlahan dan perkalian tiga bilangan bulat berlaku sifat asosiatif atau disebut juga sifat pengelompokan. Perhatikanlah contoh penjumlahan tiga bilangan berikut.
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
Jadi, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).
Sifat seperti ini dinamakan sifat asosiatif pada penjumlahan.
Sekarang, coba perhatikan contoh perkalian berikut.
(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Sifat ini disebut sifat asosiatif pada perkalian.

• Sifat Distributif

Selain sifat komutatif dan sifat asosiatif, terdapat pula sifat distributif. Sifat distributif disebut juga sifat penyebaran. Untuk lebih memahaminya, perhatikanlah contoh berikut.
Contoh 1
Apakah 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5)?
Jawab:
3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27
(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27
Jadi, 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5).

Contoh 2
Apakah 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5)?
Jawab:
3 × (4 – 5) = 3 × (–1) = –3
(3 × 4) – (3 × 5) = 12 – 15 = –3
Jadi, 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5).
Contoh 1 dan Contoh 2 menunjukkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan.

BANGUN DATAR YANG SEBANGUN DAN KONGRUEN

B. Segitiga-segitiga Kongruen

1. Syarat Dua Segitiga yang Kongruen

Tentunya kalian masih ingat tentang syarat dua bangun datar yang kongruen. Coba sebutkan. Lebih lanjut, kita akan mengaplikasikannya pada salah satu bangun datar yaitu segitiga. Sekarang coba katakan, apa yang disebut dengan segitiga itu? Bisakah kalian sebutkan benda-benda di sekitar kita yang berbentuk segitiga? Segitiga terangkai dari enam unsur yang terdiri dari tiga sisi dan tiga sudut.

Dari kegiatan yang kalian lakukan sebelumnya, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Mengapa demikian? Selanjutnya, dapat kita simpulkan bahwa dua segitiga, dikatakan kongruen jika dan hanya jika keduanya mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Jika demikian, unsur-unsur yang seletak saling menutup dengan sempurna. Jadi syarat dua segitiga yang kongruen adalah:

2. Sifat Dua Segitiga yang Kongruen

Dua segitiga kongruen dapat ditentukan dari ketiga sisi dan sudutnya.

a. Tiga Sisi (S - S - S)
Jika dua buah segitiga adalah kongruen maka ketiga sisi segitiga pertama sama panjang dengan ketiga sisi segitiga kedua (sisi-sisi seletak).

b. Dua Sisi dan Satu Sudut Apit (S - Sd - S)
Dua segitiga yang kongruen maka dua sisi segitiga pertama sama dengan dua sisi segitiga kedua, dan sudut yang diapitnya sama besar.

c. Dua Sudut dan Satu Sisi (Sd - S - Sd)
Dua segitiga yang kongruen maka dua buah sudut dari segitiga pertama sama dengan dua sudut pada segitiga kedua, dan sisi di antara kedua sudut tersebut sama panjang.

3. Perbandingan Sisi-sisi Dua Segitiga Kongruen

Jika dua buah segitiga kongruen, maka sisi-sisi yang berada di depan sudut yang sama besar mempunyai panjang sama. Perbandingan sisi-sisi segitiga pertama sama dengan perbandingan sisi-sisi segitiga yang kedua.

Misalkan
Diberikan: Δ KLM = Δ PQR dengan sifat (s-sd-s)
Diketahui: KM = PR, K = P, KL = PQ
Akibatnya LM = QR
               ∠ L = ∠ Q
              ∠ M = ∠ R

1. Syarat Dua Segitiga yang Sebangun

Perhatikan gambar berikut ini.

Δ ABC ~ Δ PQR sehingga berlaku pula syarat kesebangunan, yaitu:

2. Sifat Dua Segitiga yang Sebangun

a. Sisi-sisi yang Bersesuaian Sebanding
Untuk lebih memahami sifat-sifat dua segitiga yang sebangun, mari kita lakukan kegiatan berikut ini.

Dari kegiatan tersebut, ternyata pada dua buah segitiga yang sebangun memiliki tiga pasang sisi-sisi yang seletak dengan perbandingan yang sama atau faktor skala k.

Kesimpulan:

b. Sudut-sudut yang Seletak Sama Besar (Sd-Sd-Sd) Masih ingatkah kalian cara menggambar sudut-sudut istimewa? Sekarang, gambarlah Δ ABC dengan besar ∠ A = 60^o dan ∠ C = 45^o. Perhatikan gambar berikut.

Ternyata dari kegiatan tersebut kita dapat mengetahui bahwa sudut-sudut yang bersesuaian memiliki besar yang sama dan ketiga sisi yang bersesuaian sebanding. Artinya kedua segitiga itu sebangun. Jadi,

c. Satu Sudut Sama Besar dan Kedua Sisi yang Mengapitnya Sebanding (S-Sd-S)
Selain dua sifat segitiga di atas, kita dapat menentukan sifat ketiga yaitu jika salah satu sudutnya sama besar dan kedua sisi yang mengapitnya sebanding, maka kedua segitiga itu sebangun. Untuk memahaminya lakukanlah kegiatan berikut.

3. Perbandingan Sisi-sisi Dua Segitiga Sebangun

Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua segitiga yang sebangun adalah sebanding. Oleh karena itu jika diketahui faktor skala perbandingannya maka kita dapat mencari panjang sisi-sisi segitiga yang belum diketahui.

Perhatikan gambar berikut.
Δ ABC ~ Δ CDE
Dari gambar tersebut kita ketahui bahwa:
∠ DCE = ∠ ACB (berimpitan)
∠ CDE = ∠ CAB (sehadap)
∠ CED = ∠ CBA (sehadap)
Jadi ketiga sudut yang bersesuaian sama besar. Perhatikan perbandingan sisi-sisi yang seletak. Kita peroleh AC = AD + DC dan BC = BE + EC. Dengan sifat kesebangunan, maka sisi-sisi yang seletak sebanding.

Jadi diperoleh:

D. Penerapan Konsep Kesebangunan dalam Pemecahan Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali pemanfaatan konsep kesebangunan. Pembuatan miniatur suatu bangunan, penggambaran peta suatu daerah semuanya menggunakan konsep kesebangunan. Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.10
Sebuah model/rancangan suatu pesawat terbang berskala 1 : 300. Jika panjang pesawat tersebut sesungguhnya adalah 60 meter dan jarak antara kedua ujung sayapnya 18 meter, tentukan ukuran-ukuran tersebut pada model/rancangannya.
Penyelesaian:
Misal panjang pesawat pada rancangan = x
Jarak kedua ujung sayap = y

Jadi, panjang pesawat pada rancangan adalah 20 cm dan jarak kedua ujung sayap 6 cm.