SEGITIGA-SEGITIGA YANG SEBANGUN

Pendekatan
Pemahaman Konsep dan Matematika Realistik.
Misalkan  diketahui dua segitiga  segitiga ABC dan segitiga PQR dengan
ketiga  sudut yang bersesuaian  sama besar yaitu ;
∠A = ∠P
∠B = ∠Q
∠C = ∠R
dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian  sama yakni ;
AB/PQ  = BC/QR = AC/PR
Maka kedua  segitiga tersebut dikatakan sebangun ditulis  ” segitiga ABC ∼ segitigaPQR ”, atau sebaliknya
Theorema
Jika  dua buah  segitiga diketahui dua sudut  yang bersesuaian sama besar maka kedua  segitiga tersebut sebangun.
Bukti:
Misal diketahui segitiga ABC dan segitiga PQR dan
∠A = ∠P
∠B = ∠Q
Pertama akan  ditunjukkan
∠C = ∠R
dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian  sama yakni;
AB/PQ  = BC/QR = AC/PR
Pertama akan  ditunjukkan
∠C = ∠R
Karena  jumlah  sudut-sudut pada  segitiga adalah  180
maka,  ∠C = 180  − (∠A + ∠B) = 180 − (∠P + ∠Q) = ∠R
∴ ∠C = ∠R
Berikut akan  ditunjukkan
perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian  sama yakni;
AB/PQ  = BC/QR = AC/PR
Sebagai Ilustrasi  perhatikan gambar

Karena  ∠A = ∠P maka garis k//l (sifat  kesejajaran dua buah  garis yang dipotong oleh sebuah  garis).
Begitu  juga  ∠B = ∠Q dan  ∠C = ∠R, sehingga  membentuk gambar  seperti pada  gambar  diatas.
Berikutnya akan  ditunjukkan bahwa  perbandingan sisi-sisi  yang  bersesuaian sama.
Misalkan  AC = b dan  PQ  = b ± m (asumsikan m positif,  andaikan negatif
maka  yang dimisalkan  adalah  PQ).
jadi PQ  = b + m,
Andaikan   m  tidak   habis  dibagi  b,  (jika  habis  dibagi  kita  tinggal  membuat segitiga-segitiga  seperti  pada  gambar  diatas).
jadi  kita  membuat PQ  menjadi  beberapa  bagian  misalnya  PQ  dibagi  menjadi bm + mm ( m habis dibagi oleh bm dan mm).
Jadi  kita  dapat membentuk segitiga-segitiga  kecil dengan  panjang  salah  satu sisinya adalah  bm + mm bagian/satuan panjang,  seperti  gambar  dibawah  ini

Kita  bisa  membuat A’B'//P ‘ Q’ ,  andaikan tidak  dapat dibuat sejajar  artinya ketiga sudutnya yang bersesuaian  dari kedua segitiga, segtiga ABC dan segitiga P QR tidak sama besar (bertentangan dengan  yang diketahui).
Sehingga segitiga AB’ A’  konggruen  dengan  segitigaP Q’ P ‘  (sd,s,sd).
Akibatnya PR  dan QR juga dibagi menjadi  bm + mm bagian.
Dengan  AB, AC, dan BC dibagi menjadi  bm bagian.
Misalkan  panjang  PP’ = r maka  panjang  AB = bm.r  dan PQ  = (bm + mm).r
Sehingga
AB/P Q = bmr/ (bm+mm)r = b/b+m
misalkan  pula  panjang  Q’P'  = p maka  panjang  BC = bm.p  dan  QR = (bm  + mm).p
BC/QR =  bmp/ (bm+mm)p = b/b+m
Dengan cara yang sama didapatkan juga  AC /PR =  b/b+m
Jadi
AB/PQ = BC/RQ = AC/PR = b/b+m. Bukti selesai.